Exercice n°5 Ecrire le nombre réel \frac{19\pi}{3} sous la forme x+2k\pi 2. Reproduire la figure et placer alors sur le cercle trigonométrique M, le point image du nombre réel \frac{19\pi}{3}. Prolongement possible mais hors-programme: mesure principale d'un angle. On a vu qu'un angle possède une infinité de mesures en radians qui diffèrent toute d'un multiple de 2\pi. La mesure principale est celle qui se trouve dans l'intervalle]-\pi;\pi]. Exemple: parmi les mesures suivantes qui correspondent au même angle \frac{49\pi}{2}; \frac{5\pi}{2}; -\frac{3\pi}{2}; \frac{\pi}{2}; \frac{17\pi}{2}, seule la mesure \frac{\pi}{2} se trouve dans]-\pi;\pi]. C'est la mesure principale. Comment la déterminer? Prenons par exemple la mesure \frac{172\pi}{3}, ce n'est pas une mesure comprise dans]-\pi;\pi], elle est trop grande. Il faut enlever 2\pi autant de fois que c'est possible ce qui revient à diviser par 2\pi. L'objectif est de compléter les pointillés pour obtenir le quotient et le reste. \frac{172\pi}{3}=…\times 2\pi+… Le 3 au dénominateur dérange, on multiplie par 3 de chaque côté.
Le plan est rapporté à un repère orthonormé. On considère un cercle C de centre O et de rayon 1. A est le point de C de coordonnées (1; 0). Définition: On définit un sens sur ce cercle, appelé « direct », c'est à dire dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. On appelle ce cercle trigonométrique le cercle C muni du sens direct. Rappel: la longueur du cercle C (périmètre) est égale à car r =1. Exemple: Supposons que l'on s'intéresse au mouvement d'un satellite en orbite circulaire autour de la Terre. Au départ, le satellite part de la position A et tourne dans le sens de la flèche. L'unité choisie est la distance Terre-Satellite (TS), c'est-à-dire que TS = 1. Si le satellite revient à sa position de départ, il a parcouru unités. Pour Atteindre la position A2, il doit parcourir unités (la moitié) et pour atteindre la position A1, il doit parcourir unités (le quart). En effectuant un parcourt de longueur, le satellite revient en position A2. En fait, à chaque fois que l'on repasse par la même position, la longueur du trajet est augmentée de.
Mais les méthodes pour trouver x vont être un peu différentes… Il y a 2 types d'équations que tu dois savoir résoudre: cos(x) = cos(a) et sin(x) = sin(a). — Si cos(x) = cos(a) alors x = a + 2k π ou x = – a + 2k π Si sin(x) = sin(a) alors x = a + 2k π ou x = π – a + 2k π Ceci est évidemment à retenir par cœur mais nous allons voir graphiquement pourquoi. Si cos(x) = cos(a), cela signifie que x a le même cosinus que a. Il y a donc 2 possibilités d'après le schéma suivant: Si sin(x) = sin(a), cela signifie que x a le même sinus que a. Il y a donc 2 possibilités d'après le schéma suivant: ATTENTION à ne pas oublier le +2kπ!!! Ce 2kπ vient du fait que l'on peut faire plusieurs tours (2kπ) dans un sens ou dans l'autre on aura toujours le même point sur le cercle. Si les formules ci-dessus sont plutôt simples à retenir (surtout avec le schéma), les exercices le sont souvent beaucoup moins! Ne t'inquiète pas, tu trouveras dans ces exercices sur les équations trigonométriques tous les cas que tu pourras rencontrer sur la résolution d'équations avec la trigonométrie!
Les fonctions sec et cosec sont définies par: L'étude de ces fonctions est faite en vidéo sur cette page pour plus de facilités de compréhension. Pour l'étude des fonctions arccos, arcsin et arctan (fonctions réciproques de cos, sin et tan), tu pourras aller sur cette page où tout est détaillé! Tu trouveras sur cette page tous les exercices sur la trigonométrie! Il y a certes beaucoup de formules à connaître, mais il ne faut pas les apprendre bêtement par coeur!! Il faut que tu retiennes à chaque fois les astuces qui te permettent de retenir ou de retrouver rapidement ces formules. Nous t'avons donné ces astuces, mais si tu veux utiliser d'autres moyens mnémotechinques, n'hésite pas! L'important est que tu puisses utiliser ces formules le jour où tu en auras besoin. On utilise plutôt ces formules après le bas qu'au lycée, mais tant qu'à faire autant les apprendre tout de suite! Retour au sommaire des cours Remonter en haut de la page
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