Inscription / Connexion Nouveau Sujet Posté par Clara 21-05-09 à 09:26 bonjour, si l'on connait deux points appartenant à une droite et que l'on cherche un système d'équations cartésiennes de cette droite, comment fait-on? Par exemple j'ai la droite (AB) avec A(0;0;1) et B(1;0;0). Je sais que l'équation est de la forme ax+by+cz+d=0. Je reste bloquée ensuite... Merci de votre aide... Posté par Labo re: système d'équations cartésiennes d'une droite dans l'espace 21-05-09 à 09:38 bonjour Clara, Dans l' espace une équation du type ax+by+cz+d=0. n'est pas celle d'une droite mais celle d'un PLAN dans l'espace tu définis une droite par une équation paramétrique c'est à dire la donnée d'un point et d'un vecteur directeur vecteur AB( 1;0;1) soit M (x;y;z) point de la droite (AB):les vecteurs AM et AB sont colinéaires x-0= 1*k===>x=k y-0=0*k====>y=0 z-1=1*k====>z=k+1 Posté par gaby775 re: système d'équations cartésiennes d'une droite dans l'espace 21-05-09 à 09:40 Bonjour, Un système d'équation cartésienne: ça n'existe pas...
u_1 \cr y=k. u_2 \cr z =k. u_3 \end{pmatrix}$$ $$\overrightarrow{AM} = k. \vec{u}: \begin{pmatrix} x-x_A =k. u_1 \cr y-y_A =k. u_2 \cr z-z_A =k. u_3 \end{pmatrix}$$ Interactions dans l'espace Trouver l'intersection de 2 plans Si les deux plans sont parallèles (vecteurs normaux colinéaires) alors il n'y a pas d'intersection. Sinon, c'est donc une droite dont l'équation paramétrique vérifie les équations cartésiennes des deux plans. Trouver l'intersection d'un plan et d'une droite Si la droite appartient au plan, l'intersection des deux sera la droite elle-même. Sinon c'est un point dont les coordonnées satisfont l'équation cartésienne du plan et l'équation paramétrique de la droite. Montrer que deux droites sont orthogonales Montrer que le produit scalaire de leur vecteur est nul $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} = \vec{0}$ Montrer que deux plans sont perpendiculaires Déterminer d'abord les coordonnées des vecteurs normaux aux plans (grâce aux équations cartésiennes). Les deux vecteurs normaux doivent être orthogonaux: leur produit scalaire est égale à 0 Calcul de distances Projeté orthogonal H Projeté orthogonal sur une droite Le projeté orthogonal d'un point A sur la droite D est le point où la distance entre droite et point est la plus courte.
On parle soit d'équation cartésienne (de plan par exemple) ou système d'équation paramétré d'une droite (dans l'espace) L'équation d'une droite dans l'espace ne sourait être de forme ax+by+cz+d=0 ceci est l'équation cartésienne d'un plan dans l'espace. Dans le plan c'est ax+by+c=0 Voilà Après pour un systéme d'équation paramètré d'une droite {x = d + ct {y = e + bt {z = f + at (d, e, f) est un point de la droite. Celui que tu veux (c, b, a) un vecteur directeur de la doite Posté par gaby775 re: système d'équations cartésiennes d'une droite dans l'espace 21-05-09 à 09:41 trop tard... Posté par Labo re: système d'équations cartésiennes d'une droite dans l'espace 21-05-09 à 09:44 bonjour gaby775 Posté par Clara re: système d'équations cartésiennes d'une droite dans l'espace 21-05-09 à 09:53 je sais comment trouver un système d'équations paramétriques mais dans mon livre on me demande de déterminer le système d'équations cartésiennes pour la droite (BA) alors je ne sais pas quoi en penser!
\left( {\begin{array}{*{20}{c}} \end{array}} \right) = 0\) \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow a(x - {x_A}) + b(y - {y_A}) + c(z - {z_A}) = 0\\ \Leftrightarrow ax - a{x_A} + by - b{y_A} + cz - c{z_A} = 0 \end{array}\) Soit \(d = - a{x_A} - b{y_A} - c{z_A}\). Nous obtenons alors une équation du plan \(\left( \mathscr{P} \right)\) de la forme \(ax + by + cz + d\) \(= 0\) (avec \(a\), \(b\) et \(c\) non tous nuls). Donc, théorème: l'ensemble des points \(M\) de coordonnées \((x\, ;y\, ;z)\) vérifiant l'équation \(ax + by + cz + d\) \(= 0\) est un plan (avec \(a\), \(b\) et \(c\) non tous nuls). Réciproquement, tout plan de l'espace admet une équation de la forme \(ax + by + cz + d\) \(= 0. \) Pour les applications, voir la page d' exercices sur les équations cartésiennes d'un plan. Intersections (ou non) de plans Soit deux plans, \(\left( {\mathscr{P_1}} \right)\) tel que \(ax + by + cz + d\) \(= 0\) et \(\left( {\mathscr{P_2}} \right)\) tel que \(a'x + b'y + c'z + d'\) \(= 0. \) S'il existe un réel \(k\) tel que \(a=ka'\), \(b=kb'\) et \(c=kc'\) alors les plans sont parallèles.
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